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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI
CÁTEDRA CABANA
Parcial D
Ejercicio 1:

Sea la función $f(x)=\left\{\begin{array}{lll}\frac{\ln(1+x^2)}{e^{x^2}-1} & \text { si } & x \neq 0 \\ 4a-15 & \text { si } & x=0\end{array}\right.$


a) Calcular el $\lim_{x \to 0} f(x)$

b) Determinar $a \in \mathbb{R}$ tal que la función $f$ sea continua en $x=0$

Ejercicio 2:

Sea la función $f: D \to \mathbb{R}$ dada por $f(x) = (\frac{x^2-1}{x^2-5})^{2x^2+1}$


Calcular $\lim_{x \to +\infty} f(x)$

Ejercicio 3:

Sea $f(x) = 2 e^{x-1} + \sin(1-x) - 3x \ln (2x-1)$


a) La pendiente de la recta tangente al gráfico de $f$ en $x=1$ es...

b) La ecuación de la recta tangente al gráfico de $f$ en $x=1$ es...

Ejercicio 4:

Sea la función $f: D \to \rightarrow{R}$ dada por $f(x) = x^2 + \frac{2}{x}$ entonces:


a)

$\square$ $y = 0$ es asíntota horizontal
$\square$ $f$ no tiene asíntotas
$\square$ $y = x$ es asíntota oblícua
$\square$ $x=0$ es asíntota vertical

b)

$\square$ $f$ decrece en $(-\infty, 0)$ y en $(0,1)$
$\square$ $f$ crece en $(-\infty, 0)$
$\square$ $f$ decrece en $(-\infty, 1)$
$\square$ $f$ crece en $(0,+\infty)$

c)

$\square$ en $x=0$ hay un mínimo relativo
$\square$ en $x=-1$ hay un máximo relativo
$\square$ en $x=1$ hay un mínimo relativo
$\square$ en $x=1$ hay un máximo relativo

d) La imagen de $f$ es

$\square$ $[3, +\infty)$
$\square$ $\mathbb{R}$
$\square$ $(1,+\infty)$
$\square$ $(0,+\infty)$


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